Лекция 6
Методика формирования смысла арифметических действий
1. Теоретические положения, определяющие технологии введения смысла арифметических действий сложения и вычитания
2. Виды практических ситуаций, соответствующих действиям сложения и вычитания
3. Технологии ознакомления детей со смыслом арифметических действий сложения и вычитания
4. Особенности технологий введения арифметического действия умножения
5. Знакомство с действием деления
1
Теоретические положения, определяющие технологии введения смысла арифметических действий сложения и вычитания
В начальной школе изучают четыре арифметических действия:
в 1 классе дети знакомятся с действиями первой ступени: сложением и вычитанием,
во 2 классе – с действиями второй ступени: умножением и делением.
В математике существует несколько подходов к определению данных действий на множестве целых неотрицательных чисел: теоретико-множественный, аксиоматический и через измерение величин.
В существующих образовательных системах для ознакомления детей со смыслом сложения и вычитания используют преимущественно теоретико-множественный подход, поскольку он позволяет представить смысл арифметических действий через предметные ситуации, смысл которых легко воспринимается детьми младшего школьного возраста.
2
Виды практических ситуаций, соответствующих действиям сложения и вычитания.
Что должны уметь дети для осознания смысла арифметических действий?
- моделировать практические ситуации, соответствующие действиям сложения и вычитания;
- переводить жизненные ситуации на язык математики и записывать их в виде символической записи;
- читать математические записи разными способами;
- находить значение математических выражений на сложение и вычитание.
Методическая интерпретация теоретико-множественного подхода к изучению данного материала в альтернативных образовательных системах различна и зависит от концепций, положенных в основу каждой технологии, предпочтений автора учебника математики в начальных классах в выборе упражнений для моделирования практических ситуаций, объема вводимых понятий.
Все это неизбежно ведет к различиям в системе заданий, с помощью которых учащиеся усваивают смысл арифметических действий, последовательности введения понятий и к различиям в используемых методах обучения
Все это неизбежно ведет к различиям в системе заданий, с помощью которых учащиеся усваивают смысл арифметических действий, последовательности введения понятий и к различиям в используемых методах обучения
С теоретико-множественной точки зрения сложению соответствуют следующие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов):
- объединение элементов двух совокупностей (В коробку положили три цветных карандаша и один простой карандаш. Всего в коробку положили 4 карандаша.);
- увеличение на несколько элементов данной совокупности (Утром на клумбе цвели 5 тюльпанов, к обеду их стало на 2 тюльпана больше, чем утром. Всего на клумбе к обеду цвело 7 тюльпанов);
- увеличение на несколько элементов совокупности, сравниваемой с данной (На одной полке было 6 книг, а на второй на 3 книги больше, чем на первой. На второй полке было 9 книг.).
Вычитанию соответствуют следующие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов):
- удаление правильной части из данного множества;
- уменьшение на несколько элементов данной совокупности;
- уменьшение на несколько элементов совокупности, сравниваемой с данной;
- разностное сравнение двух совокупностей.
Этапы знакомства с арифметическими действиями
Последовательность изучения должна соответствовать логике математической трактовки понятия, возрастным особенностям детей и осуществляется в следующем порядке:
- 1Обучение моделированию всем выше названным ситуациям, сначала на предметных моделях (правильное представление их со слов учителя, показ руками как процесса, так и результата предметного действия), затем словесная их характеристика и изображение на графических моделях.
- 2Знакомство со знаками действий и символической записью выражений, составленных с этими знаками действий.
- 3После того, как дети научатся правильно выбирать знак действия в выражении, соответствующем данной ситуации и объяснять выбор действия, переходят к составлению равенства и фиксированию результата действия. Позже дети знакомятся с понятием «математическое выражение» с изучаемым знаком действия и первыми способами чтения этих выражений.
3
Технологии ознакомления детей со смыслом арифметических действий сложения и вычитания
Во всех образовательных технологиях процесс введения соответствует выше представленной последовательности. В тоже время, один учебник отличается от другого.
1. Последовательностью введения арифметических действий.
В учебниках математики М.И. Моро и др., Л.Г. Петерсон, Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких и др. действия сложения и вычитания изучаются одновременно.
В других учебниках И.И. Аргинской, Н.Б. Истоминой сначала изучается сложение, а затем – вычитание.
2. Содержанием ситуаций, используемых для введения смысла действия и их графическим изображением.
3. Временем, отводимым на изучение данных действий через практические ситуации.
В учебниках М.И. Моро и др., Л.Г. Петерсон, Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких и др. через два-три урока после рассмотрения смысла арифметических действий сложения или вычитания через практические ситуации, рассматривают задачи, решаемые действиями сложения и вычитания.
В учебниках Н.Б. Истоминой, понятие «задача» вводится только во втором классе, поэтому достаточно долгое время смысл этих действий рассматривается через практические ситуации.
1. Последовательностью введения арифметических действий.
В учебниках математики М.И. Моро и др., Л.Г. Петерсон, Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких и др. действия сложения и вычитания изучаются одновременно.
В других учебниках И.И. Аргинской, Н.Б. Истоминой сначала изучается сложение, а затем – вычитание.
2. Содержанием ситуаций, используемых для введения смысла действия и их графическим изображением.
3. Временем, отводимым на изучение данных действий через практические ситуации.
В учебниках М.И. Моро и др., Л.Г. Петерсон, Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких и др. через два-три урока после рассмотрения смысла арифметических действий сложения или вычитания через практические ситуации, рассматривают задачи, решаемые действиями сложения и вычитания.
В учебниках Н.Б. Истоминой, понятие «задача» вводится только во втором классе, поэтому достаточно долгое время смысл этих действий рассматривается через практические ситуации.
Следует отметить, что во всех образовательных системах, наряду с теоретико-множественным подходом используется и аксиоматический подход к определению действия вычитания, при котором вычитание трактуется как действие обратное сложению. В этом направлении предлагаются различные методические решения.
В системе «Школа 2100» уже при введении числа 3 вводятся понятия «Часть и целое». Далее при изучении любого числа в пределах 10 и его состава закрепляются эти понятия. Каждое число рассматривается как целое, которое можно составить из различных частей. Например, 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 и т.д
В системе «Школа 2100» уже при введении числа 3 вводятся понятия «Часть и целое». Далее при изучении любого числа в пределах 10 и его состава закрепляются эти понятия. Каждое число рассматривается как целое, которое можно составить из различных частей. Например, 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 и т.д
4
Особенности технологий введения арифметического действия умножения
В курсе математики действие умножения определяется следующим образом. Если а, b – целые неотрицательные числа, то произведением а x b называется число, удовлетворяющее следующим условиям:
- а x b = а + а + а + … + а (а повторяется b раз), если b больше 1;
- а x b = а, если b = 1;
- а x b = 0, если b = 0.
Осознание смысла умножения предполагает отработку следующих умений:
- Среди выражений, содержащих знак сложения, выделять те, которые содержат одинаковые слагаемые.
- Заменять выражение, содержащее сложение одинаковых слагаемых, выражением, содержащим знак умножения.
- Находить значение простого выражения со знаком умножения через замену его выражением на сложение одинаковых слагаемых.
- Находить результат умножения в том случае, когда один из множителей равен нулю или единице
Работая с учебником, дети могут ознакомиться с определением действия умножения. В разных образовательных программах это делается по-разному.
«Умножением называют сложение одинаковых слагаемых» (М.И. Моро и др.).
«Если слагаемые равны между собой, то сложение можно заменить другим действием – умножения» (И.И. Аргинская).
«Если все слагаемые в сумме одинаковые, то действие сложения можно заменить действием умножения» (Т.Е. Демидова и др.).
«Умножением называют сложение одинаковых слагаемых» (М.И. Моро и др.).
«Если слагаемые равны между собой, то сложение можно заменить другим действием – умножения» (И.И. Аргинская).
«Если все слагаемые в сумме одинаковые, то действие сложения можно заменить действием умножения» (Т.Е. Демидова и др.).
Знакомство с действием умножения через задачу
- 1Детям предлагается задача с заведомо нелаконичным текстом: «Саша нарисовал сначала 2 шарика, затем еще 2 шарика, потом еще 2 шарика и еще 2 шарика, и еще 2 шарика. Сколько всего шариков нарисовал Саша?»
- 2Записывается решение задачи в виде составного выражения, вычислив значение которого можно ответить на вопрос задачи. (2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 (ш.)
- 3Проводится беседа о возможности преобразования текста задачи. Понравился ли вам текст задачи? – Нет.
Можно ли его сказать короче? – Да. - 4Преобразуется текст задачи.
– По сколько шариков рисовал Саша каждый раз? – По 2 шарика.
– Сколько раз он нарисовал по 2 шарика? – 5 раз.
– Скажите текст задачи короче. «Саша нарисовал 5 раз по 2 шарика. Сколько всего шариков нарисовал Саша?» - 5Сообщается, что эту задачу можно решить с помощью нового математического действия – умножения. Записывается выражение со знаком умножения (по 2 шарика взять 5 раз (2 x 5).
Устанавливается, что решалась одна и та же задача, но решение записано разными выражениями. В этом случае можно утверждать, что данные выражения равны, т.е. 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 x 5
5
Знакомство с действием деления
В математике существует несколько подходов к определению действия деления. В начальных классах действие деления вводится, т.е. осуществляется первое знакомство с этим действием, с опорой на теоретико-множественный смысл этого действия, а затем дается и определение деления, соответствующее аксиоматическому способу построения арифметики натуральных чисел.
Знакомство с теоретико-множественным смыслом действия деления может осуществляться двумя способами:
- через решение задач;
- через установление соответствия между предметными моделями и символическими записями.
Этапы знакомства с делением через решение задач (И.И. Аргинская)
- 1Дается задача на умножение. Сюжет задачи иллюстрируется на предметной модели. Записывается решение задачи.
- 2Составляется задача, обратная данной задаче на деление на части. Используя иллюстрацию к первой задаче, дети находят ответ на вопрос второй задачи, опираясь на предметную модель. Затем, используя прием показа, детям сообщают, что решение такой задачи можно записать с помощью нового действия – деления. Дается образец записи и пояснения к нему, делается вывод, что задачи такого вида решают с помощью действия деления.
Этапы знакомства с делением через установление соответствия между предметными моделями и символическими записями.
- 1Через изучение связи между компонентами и результатом действия умноженияиспользуется в технологии «Школа России». Для того, чтобы дети могли находить результаты деления на основе знания соответствующих случаев умножения, необходимо ознакомить их со связью между произведением и множителями. С этой целью можно предложить детям рассмотреть тройку взаимосвязанных равенств: 4 x 2 = 8, 8 : 4 = 2, 8 : 2 = 4. Вспомнив названия чисел при умножении, дети читают равенства с действием деления, используя терминологию действия умножения: значение произведения 8 делим на первый множитель 4, получаем второй множитель 2 (аналогично читают второе равенство). На основе этих частных выводов ученики делают общий вывод своими словами или читают его по учебнику.
- 2Через введение понятия «обратная операция», с помощью которого устанавливается взаимосвязь между действиями умножения и деленияиспользуется в учебниках Л.Г. Петерсон. В данной программе на одном уроке (2 класс) дети знакомятся с несколькими подходами к трактовке действия деления. Поскольку дети уже знакомы с понятиями «операция» и «обратная операция» (начало 2 класса), то для ознакомления детей с действием деления сначала используется аксиоматический подход к определению данного действия. После установления взаимосвязи между делением и умножением, которую они наблюдают, выполняя практические ситуации, дети знакомятся с выводом, данным в учебнике.
